import numpy as np
%matplotlib notebook
import matplotlib.pyplot as plt
import ipywidgets as widgets
from maux import *
hide_interactive_toolbars()

# interaktívny editor pre vyšetrovanie priebehu elementárnych funkcií
from jedit import editor
np.warnings.filterwarnings('ignore', category=np.VisibleDeprecationWarning) 

# nastavenie jazyka
from locale import setlocale, LC_ALL
from platform import uname
if uname()[0] == 'Linux':
    setlocale(LC_ALL, 'sk_SK.utf8')
else:
    setlocale(LC_ALL, 'sk_SK')
plt.rcParams["axes.formatter.use_locale"] = True

Odmocniny

Nech $n \geq 2$ je párne prirodzené číslo. Potom funkciou $n$-tej odmocniny $\sqrt[n]{x}$ rozumieme funkciu na množine $\langle 0, +\infty )$ definovanej vzťahom $$ \forall x \in \langle 0, +\infty ) \forall y \in \langle 0, +\infty ) {:}\ \sqrt[n]{x} = y \Leftrightarrow y^n = x. $$ Definičným oborom je množina nezáporných reálnych čísel. Je to inverzná funkcia k mocninnej funkcii $x^n$ zúženej na množinu $\langle 0, +\infty )$. Všimnime si, že platí $$ \forall x \in \langle0, +\infty){:}\ \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x $$ $$ \forall y \in \langle 0, +\infty ){:}\ \sqrt[n]{y^n} = y . $$ Skrátené označenie $\sqrt{x} \equiv \sqrt[2]{x}$.

Nech $n \geq 3$ je nepárne prirodzené číslo. Potom funkciou $n$-tej odmocniny $\sqrt[n]{x}$ rozumieme funkciu definovanej vzťahom $$ \forall x \in R \forall y \in R {:}\ \sqrt[n]{x} = y \Leftrightarrow y^n = x. $$ Definičným oborom je množina reálnych čísel. Je to inverzná funkcia k mocninnej funkcii $x^n$. Všimnime si, že platí $$ \forall x \in R{:}\ \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x $$ $$ \forall y \in R{:}\ \sqrt[n]{y^n} = y . $$

Ďalšie informácie:

• Wikipédia
• Wikipedia

Dokumentácia:

• Miscellaneous

Príklad

Nakreslenie grafu funkcie $$y = \sqrt{x}.$$ Funkcia druhej odmocniny je definovaná na množine $\langle 0, +\infty \rangle$. Je to inverzná funkcia k zúženiu funkcie druhej mocniny na interval $\langle 0, +\infty \rangle$: $$ \forall x \in \langle 0, +\infty ) \forall y \in \langle 0, +\infty ) {:}\ \sqrt{x} = y \Leftrightarrow y^2 = x. $$ Všimnime si, že platí $$ \forall x \in \langle 0, +\infty ) {:}\ \left(\sqrt{x}\right)^2 = x \\ \forall y \in \langle 0, +\infty ) {:}\ \sqrt{y^2} = y. $$

#####
##### nakreslenie grafu funkcie
#####

#### vstupné údaje
def f(X): return X ** 2 # ufunc verzia zúženia funkcie druhej mocniny
X1 = np.linspace(0, 2, 2*100+1) # výber hodnôt nezávislej premennej pre zaujímavú časť grafu
Y1 = f(X1) # odpovedajúce hodnoty závislej premennej

def g(X): return X # ufunc verzia pre os súmernosti
X2 = np.linspace(0, 4, 4*10+1) # výber hodnôt nezávislej premennej pre zaujímavú časť grafu
Y2 = g(X2) # odpovedajúce hodnoty závislej premennej

# def h(X): return X ** (1/2) # ufunc verzia funkcie druhej odmocniny
def h(X): return np.sqrt(X) # ufunc verzia funkcie druhej odmocniny
X3 = np.linspace(0, 4, 4*100+1) # výber hodnôt nezávislej premennej pre zaujímavú časť grafu
Y3 = h(X3) # odpovedajúce hodnoty závislej premennej

#### obrázok s jedným diagramom
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(9, 9) # veľkosť obrázka (východzia hodnota je 6x4)

### diagram
init_subplot(ax) # inicializácia diagramu: vytvorí sa pravoúhla súradnicová sústava
ax.set_title(r"Druhá odmocnina") # pomenovanie diagramu
ax.set_aspect('equal') # nastavenie rovnakej mierky pre obe osi
# ax.grid() # pravoúhla sieť
ax.set_xticks(range(0, 4+1)) # kótovanie x-ovej osi
ax.set_yticks(range(0, 4+1)) # kótovanie y-ovej osi

## graf funkcie
color1 = ax.plot([], [])[0].get_color()
ax.plot(X1, Y1, color=color1, label=r"zúženie funkcie druhej mocniny na $\langle 0, +\infty )$")
## os súmernosti
ax.plot(X2, Y2, 'k--', lw=1, label=r"os súmernosti")

## graf inverznej funkcie
color3 = ax.plot([], [])[0].get_color()
ax.plot(X3, Y3, color=color3, label=r"funkcia druhej odmocniny")

## význačný bod
ax.plot(0, 0, 'o', mew=0, mfc=color1, mfcalt=color3, fillstyle='right') # krajný bod definičného oboru

## legenda
# ax.legend()
# ax.legend(loc='lower right')
ax.legend(loc=(0.475, 0.15))

### archivácia obrázka
# fig.savefig("<meno súboru>.png")

### samotné zobrazenie
fig.show()

Príklad

Nakreslenie grafu funkcie $$y = \sqrt[3]{x}.$$ Funkcia tretej odmocniny je definovaná na množine $R$. Je to inverzná funkcia k funkcii tretej mocniny: $$ \forall x \in R \forall y \in R {:}\ \sqrt[3]{x} = y \Leftrightarrow y^3 = x. $$ Všimnime si, že platí $$ \forall x \in R {:}\ \left(\sqrt{x}\right)^3 = x \\ \forall y \in R {:}\ \sqrt[3]{y^3} = y. $$

#####
##### nakreslenie grafu funkcie
#####

#### vstupné údaje
def f(X): return X ** 3 # ufunc verzia zúženia funkcie tretej mocniny
X1 = np.linspace(-2, 2, 4*100+1) # výber hodnôt nezávislej premennej pre zaujímavú časť grafu
Y1 = f(X1) # odpovedajúce hodnoty závislej premennej

def g(X): return X # ufunc verzia pre os súmernosti
X2 = np.linspace(-8, 8, 16*10+1) # výber hodnôt nezávislej premennej pre zaujímavú časť grafu
Y2 = g(X2) # odpovedajúce hodnoty závislej premennej

# def h(X): return X ** (1/3) # ufunc verzia funkcie tretej odmocniny, nedá sa použiť pre záporné reálne čísla
# def h(X): return np.sign(X) * np.abs(X) ** (1/3) # ufunc verzia funkcie tretej odmocniny, dá sa použiť aj pre záporné reálne čísla
def h(X): return np.cbrt(X) # ufunc verzia funkcie tretej odmocniny
X3 = np.linspace(-8, 8, 16*100+1) # výber hodnôt nezávislej premennej pre zaujímavú časť grafu
Y3 = h(X3) # odpovedajúce hodnoty závislej premennej

#### obrázok s jedným diagramom
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(9, 9) # veľkosť obrázka (východzia hodnota je 6x4)

### diagram
init_subplot(ax) # inicializácia diagramu: vytvorí sa pravoúhla súradnicová sústava
ax.set_title(r"Tretia odmocnina") # pomenovanie diagramu
ax.set_aspect('equal') # nastavenie rovnakej mierky pre obe osi
# ax.grid() # pravoúhla sieť
# ax.set_xticks(range(-8, 8+1)) # kótovanie x-ovej osi
# ax.set_yticks(range(-8, 8+1)) # kótovanie y-ovej osi

## graf funkcie
ax.plot(X1, Y1, label=r"funkcia tretej mocniny")

## os súmernosti
ax.plot(X2, Y2, 'k--', lw=1, label=r"os súmernosti")

## graf inverznej funkcie
ax.plot(X3, Y3, label=r"funkcia tretej odmocniny")

## legenda
ax.legend()

### archivácia obrázka
# fig.savefig("<meno súboru>.png")

### samotné zobrazenie
fig.show()

Príklad

Nakreslenie grafov $n$-tých odmocnín $$y = \sqrt[n]{x}$$ pre $n = 2, 4, 6, 8$ do jedného obrázka.

#####
##### grafy parametrického systému funkcií
#####

#### vstupné údaje
def f(X, n): return X ** (1/n)
X = np.linspace(0, 9, 9*100+1)

#### obrázok s jedným diagramom
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(9, 3)

### diagram
init_subplot(ax)
ax.set_title(r"Grafy $n$-tých odmocnín")
ax.set_aspect('equal')
# ax.grid()
ax.set_xticks(range(0, 9+1))
ax.set_yticks(range(0, 3+1))

## grafy funkcií
for n in [2, 4, 6, 8]:
    ax.plot(X, f(X, n), label=r"$n = {}$".format(n))

## význačný bod
ax.plot(0, 0, 'ok') # krajný bod definičného oboru

## legenda
# ax.legend()
ax.legend(loc=(0.10, 0.60))

### archivácia obrázka
# fig.savefig("<meno súboru>.png")

### samotné zobrazenie
fig.show()

Príklad

To isté ako v predchadzajúcom príklade, len vykreslenie sa deje pomocou interaktívnych prvkov knižnice ipywidgets.

#####
##### grafy parametrického systému funkcií (interaktívna verzia)
#####

#### vstupné údaje
def f(X, n): return X ** (1/n)
X = np.linspace(0, 9, 9*100+1)

#### obrázok s jedným diagramom
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(9, 3)

### diagram
init_subplot(ax)
ax.set_aspect('equal')
# ax.grid()
ax.set_xticks(range(0, 9+1))
ax.set_yticks(range(0, 3+1))

## graf n-tej odmocniny
def plot_graph(n):
    ax.set_title(r"Graf funkcie $y = \sqrt[{0}]{{x}}$".format(n))
    if ax.lines:
        ax.lines[0].set_ydata(f(X, n))
    else:
        ax.plot(X, f(X, n))

widgets.interact(plot_graph, 
                 n=widgets.IntSlider(min=2,max=8,step=2,value=2)
                 )

### samotné zobrazenie
fig.show()

Úloha (2 body)

Nakreslite grafy $n$-tých odmocnín $$y = \sqrt[n]{x}$$ pre $n = 3, 5, 7, 9$ do jedného obrázka.

Úloha

Nakreslite grafy týchto funkcií $$y = \sqrt{x-1},$$ $$y = -\sqrt{-x - 2},$$ $$y = 3 - 0.5 \sqrt[3]{3x-2},$$ $$y = \sqrt{x+1} - \sqrt{x-1},$$ $$y = \sqrt{x^2+x+1} + \sqrt{x^2-x+1},$$ $$y = \frac{x-2}{\sqrt{x^2+1}}.$$

Príklad

Zostrojenie inverznej funkcie k funkcii $$y = x^2-2x,\ x \geq 1.$$ Grafické overenie, že riešenie je správne.

Zdôvodnenie. Nech $x \geq 1$ a $y \geq -1$. Potom \begin{gather*} y = x^2-2x \Leftrightarrow x^2-2x+1 = 1+y \Leftrightarrow (x-1)^2 = 1+y \Leftrightarrow \\ |x-1| = \sqrt{1+y} \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt{1+y} . \end{gather*} Predpis pre inverznú funkciu má tak tvar $$y = 1 + \sqrt{1+x}.$$ Jej definičným oborom je množina všetkých reálnych čísel $x$, pre ktoré výraz na pravej strane má zmysel. V tomto prípade je to množina reálnych čísel $x$, pre ktoré platí $x \geq -1$.

#####
##### inverzná funkcia
#####

#### vstupné údaje
def f(X): return X ** 2 - 2 * X # ufunc verzia funkcie
X1 = np.linspace(1, 4, 3*100+1) # výber hodnôt nezávislej premennej pre zaujímavú časť grafu
Y1 = f(X1) # odpovedajúce hodnoty závislej premennej

def g(X): return X # ufunc verzia pre os súmernosti
X2 = np.linspace(-1, 8, 9*10+1) # výber hodnôt nezávislej premennej pre zaujímavú časť grafu
Y2 = g(X2) # odpovedajúce hodnoty závislej premennej

def h(X): return 1 + np.sqrt(1 + X) # ufunc verzia inverznej funkcie
X3 = np.linspace(-1, 8, 9*100+1) # výber hodnôt nezávislej premennej pre zaujímavú časť grafu
Y3 = h(X3) # odpovedajúce hodnoty závislej premennej

#### obrázok s jedným diagramom
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(9, 9) # veľkosť obrázka (východzia hodnota je 6x4)

### diagram
init_subplot(ax) # inicializácia diagramu: vytvorí sa pravoúhla súradnicová sústava
ax.set_title(r"Inverzná funkcia") # pomenovanie diagramu
ax.set_aspect('equal') # nastavenie rovnakej mierky pre obe osi
# ax.grid() # pravoúhla sieť
ax.set_xticks(range(-1, 8+1))
ax.set_yticks(range(-1, 8+1))

## graf funkcie
color1 = ax.plot([], [])[0].get_color()
ax.plot(X1, Y1, color=color1, label=r"funkcia $y = x^2-2x,\ x \geq 1$")
ax.plot(1, -1, 'o', c=color1) # krajný bod definičného oboru

## os súmernosti
ax.plot(X2, Y2, 'k--', lw=1, label=r"os súmernosti")

## graf inverznej funkcie
color3 = ax.plot([], [])[0].get_color()
ax.plot(X3, Y3, color=color3, label=r"inverzná funkcia $y = 1+\sqrt{1+x}$")
ax.plot(-1, 1, 'o', c=color3) # krajný bod definičného oboru

## legenda
ax.legend()

### archivácia obrázka
# fig.savefig("<meno súboru>.png")

### samotné zobrazenie
fig.show()

Úloha (2 body)

Zostrojte inverznú funkciu k funkcii $$y = x^2-2x,\ x \leq 1.$$ Overte graficky, že riešenie je správne.

Úloha (2 body)

Zostrojte inverznú funkciu k funkcii $$y = \frac{2x}{1-x^2},\ -1 < x < 1.$$ Overte graficky, že riešenie je správne.

Úloha

Zostrojte inverznú funkciu k funkcii $$y = \dfrac{2x}{1+x^2},\ x \geq 1.$$ Overte graficky, že riešenie je správne.

Úloha (3 body)

Zostrojte inverznú funkciu k funkcii $$y = \dfrac{4x}{1+x^2},\ -1 \leq x \leq 1.$$ Overte graficky, že riešenie je správne.